Barisan dan Deret Bilangan ( Row and Series of Numbers )

BARISAN DAN DERET BILANGAN

(Row and Series of Numbers )

A. Barisan dan Deret Aritmetika

Barisan aritmetika adalah sederetan bilangan yang setiap sukunya berasal dari suku sebelumnya dengan pola tertentu atau dengan kata lain barisan aritmetika itu adalah barisan yang terbentuk dari suku sebelumnya dengan cara di tambah atau dikurangi. 

Coba perhatikan contoh berikut : 

1    2    3    4    5    6    7    8     9    10    11    12    13    14    15    16 (Sukunya berikutnya berasal dari suku sebelumnya di tambah dengan angka 1 )

keterangan : 

1 disebut suku ke-1

2 disebut suku ke-2

3 disebut suku ke-3

dst.....

-90    -80    -70    -60    -50    -40    -30    -20    -10    0    10    20    30    40    50 (Sukunya berikutnya berasal dari suku sebelum ditambah dengan angka 10 )

-90 disebut suku ke-1

-80 disebut suku ke-2

-70 disebut suku ke-3

0 disebut suku ke-10

dst....

15    10    5    0    -5    -10    -15    -20    -25    -30    -40 (Suku berikutnya berasal dari suku sebelumnya dengan dikurang dengan angka 5 ).

15 disebut suku ke-1

10 disebut suku ke-2

5 disebut suku ke-3 

.

.

.

-40 disebut suku ke-11

Selanjutnya.....

Bagaimana cara kita menemukan angka yang berada pada suatu suatu barisan aritmetika jika yang ditanyakan adalah suku yang ke-1000,,??

Misalnya suatu barisan aritmetika 2    4    6    8    10.    .    .    .    .    .    .

untuk menentukan suku yang ke-1000 bisa saja kita menentukannya dengan cara selalu menambah suku dengan angka 2 namun kelemahannya adalah kita membuang waktu yang sangat banyak maka itu ada satu rumus ( formula ) yang dapat membantu kita menemukan angka yang ke-1000 yaitu : 

Gbr.1 Matematika Jaya

Mari kita lanjutkan mencari suku ke-1000 dengan menggunakan rumus diatas 

2    4    6    8    10.    .    .    .    .    .    .

a = suku ke-1 adalah 2

b = 4 - 2 = 6 - 4 = 8 - 2= 10 - 8 = 2 

Maka :

Deret aritmetika adalah Jumlah seluru suku yang berada pada barisan aritmetika yang sedang dibicarakan.

contoh : 

2    4    6    8    10.    .    .    .    .    .    .

Berapakah jumlah 51 suku pertama pada barisan aritmetika diatas ?

jika yang di tanyakan jumlah 5 suku pertama diatas maka sangat mudah kita cari dengan cara 

2 + 4 + 6 + 8 + 10 = 30

tetapi jika yang ditanyakan 51 suku pertama maka akan menggunakan waktu yang lama untuk menyelesaikan untuk itu ada rumus yang dapat kita gunakan untuk menyelesaikan kasus yang seperti ini  yaitu : 

Gbr.3 Matematika Jaya

oke kita lanjut menyelesaikan masalah diatas 

2    4    6    8    10.    .    .jumlah 51 suku pertama barisan aritmetika ini adalah 

Penyelesaian : 

a = 2 

b = 4 - 2 = 2 

maka 

Gbr. 4 Matematika Jaya

B. Barisan dan Deret Geometri

Barisan Geometri adalah barisan yang memiliki Rasio yang sama

atau dengan kata lain barisan geometri merupakan barisan yang terbentuk dari perkalian dan pembagian angka yang sama ( tetap ) pada suku sebelumnya. 

contoh 

2    6    18    54    162 dst.....

jika di perhatikan barisan ini, ia merupakan geometri, karena setiap suku yang akan muncul selalu dikali dengan angka 3 pada suku sebelumnya, juga rasionya sama yaitu perbandingan antara suku ke-2 dan suku ke-1 = 3, suku-2 dengan suku ke-3 = 18/6 = 3 dstrusnya.

Dapatkah kita menemukan angka yang berada pada suku ke- 20 pada barisan geometri diatas ?

secara manual ( tanpa rumus bisa ) hanya akan membutuhkan waktu yang sangat lama oleh karena itu kita menggunakan rumus berikut ini untuk memudahkan kita menemuka mencari angka pada suku ke-n, yang sangat banyak seperti pada masalah diatas.

Gbr.5 Matematika Jaya

kita lanjut menyelesaikan masalah diatas dengan menggunakan rumus diatas 

2    6    18    54    162 .... suku ke-20 adalah ....

Penyelesaian :

a= 2 

r = 3 

Gbr.6 Matematika Jaya

Deret Geometri adalah jumlah seluru suku pada barisan geometri yang sedang dibicarakan. 

untuk menjumlahkan suku pada barisan geometri maka kita memperhatikan nilai r terlebih dahulu.

berikut rumus untuk menjumlahkan suku pada barisan geometri.

Gbr. 7 Matematika Jaya

Contoh : 

Tentukanlah jumlah 8 suku pertama pada barisan 3    6    12    24....

Penyelesaian : 

a = 3 

r = 6/3 = 2 , karena r > 1 maka kita menggunakan rumus : 

Gbr.8 Matematika Jaya

Catatan :

Untuk mengerjakan soal berkaitan dengan barisan dan deret, yang utama diperhatikan adalah soal tersebut masuk dalam kategoris barisan aritmetika atau geometri. Kemudian selanjutnya menggunakan rumus diatas sesuai dengan permintaan dari suatu pertanyaan.

Trimakasih 

Semoga bermanfaat

Rianto Jaya